股道之破碎虚空 幼苗
共回答了23个问题采纳率:82.6% 举报
证法1:(分析法)要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)成立,
即证:a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 成立,
即证:2abcd≤a2d2+b2c2 成立,
即证:0≤a2d2+b2c2-2abcd=(ad+bc)2成立,
上式明显成立.
故(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
证法2:(综合法)因为a2d2+b2c2≥2abcd(重要不等式),
所以(ac+bd)2=a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2+b2)(c2+d2).
证法3:(作差法)因为(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2(2分)
=(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)-(a2c2+b2d2+2abcd)
=b2c2+a2d2-2abcd=(b2c2-a2d2)2≥0,
所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
点评:
本题考点: 不等式的证明.
考点点评: 本题考查不等式的证明,着重考查分析法、综合法、作差法的应用,考查推理证明能力,属于中档题.
1年前