数学题初中在平面直角坐标系里,将一块等腰直角三角形ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且A（0,2） C（-1,0）,

解题前言：
考生解数学题时,一定注意 全面考虑问题,注意分类讨论的解题思想运用.
一定注意 多培养“快速形成思路”及“快速形成卷面”的能力.
本题的第一问,等腰直角△ABC在第二象限内的放置（斜靠在两坐标轴上）问题,
因原题仅向考生透漏“AC为直角边”,显然应分两种情形讨论：
（情形1）：AC为直角边,C为直角顶点.
过点B作BD⊥x轴于D,易证 △BCD≌△CAO （ AAS ）
∴BD = CO = 1,CD = AO = 2
∴点B的坐标为 （ --3,1 ）
设线段AC的中点为E,作EM ⊥ y轴于M、作EN ⊥ x轴于N,
由中位线知识 易知E坐标为（ --1/2,1 ）
∵ B E 两点纵坐标相同
∴ 线段BE ‖ x轴 且 BE是△ABC的一条中线.
∴ 由 三角形重心（三条中线的交点）性质得
重心G在BE上且GE= 1/3•BE （三角形的重心到顶点的距离=它到对边中点距离的2倍）
BE =（--1/2）--（--3）= 5/2 (数轴上求两点距离均用右边的大值减左边的小值)
GE = 1/3•BE = 5/6 = 点E的横坐标 减 点G的横坐标
∴ 点G的横坐标为：--1/2 -- 5/6 = --4/3
∴ 点G在直线 x = --4/3 上,即重心在“支点”C 左侧的直线上
∴ △ABC 必然会绕C逆时针旋转,无法斜靠!
建议大家用一等腰直角三角形均匀纸片动手操作,一试便知逆时针旋转,无法斜靠.
∴ 该情形不合题意,不存在.
（情形2） AC为直角边,A为直角顶点.
过B作BF ⊥ y轴于F,易证 △BFA ≌ △AOC （ AAS ）
∴ BF = AO = 2,FA = OC = 1
∴ 点B坐标为 （ --2,3 ）
此时△ABC的重心G在经过点C的直线 x = -- 1 上,刚好不发生旋转,能够斜靠,符合题意.
∴ 点B的坐标为：（ -- 2,3 ）
第二问：
∵ 抛物线 y = ax² + ax -- 2 经过点B( -- 2,3 )
∴ 把 x = --2、y = 3 代入 y = ax² + ax -- 2 得：
3 = a•（--2）² + a•（--2）-- 2
3 = 4a -- 2a -- 2
∴ a = 5/2
∴ 抛物线解析式为：y = (5/2) x² + (5/2) x -- 2
第三问：假设存在点P,使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
（1）若以A为直角顶点,延长BA至P1,使 AP1 = BA,
得到等腰直角三角形△ACP1
过P1 作P1N ⊥ y轴于N,易证Rt△ANP1 ≌ Rt△AFB
∴ NP1 = FB = 2 AN = FA = 1 则ON = OA -- AN = 1
∴ 点P1坐标为 （ 2,1 ）
把x=2 代入y = (5/2) x² + (5/2) x -- 2 得 y=13 此时 y ‡ 1
经验证此时的点P1 虽满足△ACP是以AC为直角边的等腰直角△,但P1不在抛物线上
∴ 点P1 （ 2,1 ）不符合题意,舍去.
（2）若以C为直角顶点,过C作CP2 ⊥ CA 且使 CP2 = CA
得到等腰直角三角形ACP2
过P2 作 P2M ⊥ x轴于M,易证Rt△CMP2 ≌ Rt△AOC
∴ MP2 = OC = 1 CM = AO = 2 OM = CM -- CO = 2--1=1
∴ 点P2坐标为 （ 1,-- 1 ）
把 x = 1 代入y = (5/2) x² + (5/2) x -- 2 得 y= 3 此时 y ‡ -- 1
经验证此时的点P2 虽满足△ACP是以AC为直角边的等腰直角△,但P2不在抛物线上.∴ 点P2 （ 1,-- 1 ）亦不符合题意,舍去.
综上,抛物线上不存在存在点P（B除外）,使得三角形ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形.
点评：在解或证“抛物线上是否存在”一类题目时,通常解法为 ：先按照题意求出满足题意的点的坐标,再把该点坐标代入抛物线解析式进行验证该点是否在抛物线上.
考生解此类题目时,不要片面认为一定存在,进而对自己解出的不存在的结果深表恐慌,反复检查自己是否出了错.解题记住“细心、一遍成”.
美中不足的是,命题人未充分考虑到“三角形的重心位置 与 是否能斜靠”的细节,又未说明是否施加了外力使之如图斜靠,致使考生甚至教师按照错误的图形去解.
瑕不掩瑜,如考生能全面考虑,本题仍不失为一道好题.