已知函数f（x）=e x -ax-1（a为实数），g（x）=lnx-x．

由已知，得f′（x）=e ^x -a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，故函数f（x）在[lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna]上单调递减，
（2）函数g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）=
1
x -1 当0＜x＜1，g′（x）＞0，当x＞1，g′（x）＜0，所以g（x）在x=1取得极大值g（1）=-1．
（3）由（2）知g（x）≤g（1）=-1．，即lnx-x≤-1，lnx≤x-1，（x＞0），∵n∈N ₊ ，n≥2，∴lnn ² ≤n ² -1，得到
ln n 2
n 2 ≤
n 2 -1
n 2 = 1-
1
n 2

ln 2 2
2 2 +
ln 3 2
3 2 +…+
ln n 2
n 2 ≤（ 1-
1
2 2 ）+（ 1-
1
3 2 ）+…（ 1-
1
n 2 ）=（n-1）-（
1
2 2 +
1
3 2 +…+
1
n 2 ）＜（n-1）-[
1
2×3 +
1
3×4 + …+
1
n×(n+1) ]
=（n-1）-（
1
2 -
1
3 ）+
1
3 -
1
4 + …+(
1
n -
1
n+1 ) ]=（n-1）- (
1
2 -
1
n+1 ) =
2 n 2 -n-1
2(n+1)
即
ln 2 2
2 2 +
ln 3 2
3 2 +…+
ln n 2
n 2 ＜
2 n 2 -n-1
2(n+1)