（文）已知数列{an}满足：a1=1，an+an+1=4n，Sn是数列{an}的前n项和．

（文）（1）∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，
∴a_n+1+a_n+2=4（n+1），两式相减得：
a_n+2-a_n=4，即数列{a_n}隔项成等差数列
又a₁=1，代入式子可得a₂=3，
∴n为奇数时，an＝a1+4(
n+1
2−1)＝2n−1；
n为偶数时，an＝a2+4(
n
2−1)＝2n−1．
∴n∈N^*，a_n=2n-1
（2）证明：由（1）知a_n=2n-1，数列{a_n}成等差数列，
∴Sn＝
n(a1+an)
2＝n2，
[1
Sn+1−1＝
1
n(n+2)＝
1/2(
1
n−
1
n+2)
∴Kn＝
1
2(1−
1
3)+
1
2(
1
2−
1
4)+
1
2(
1
3−
1
5)+
1
2(
1
4−
1
6)+…+
1
2(
1
n−
1
n+2)
=
1
2(1−
1
3+
1
2−
1
4+
1
3−
1
5+
1
4−
1
6+…+
1
n−1−
1
n+1+
1
n−
1
n+2)
=
1
2(1+
1
2−
1
n+1−

点评：
本题考点： 数列的求和；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．

1年前

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