（2014•洛阳三模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（e，f（e

（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1，
∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，
∴f（x）=x+xlnx，f′（x）=lnx+2，
由f′（x）＞0得x＞[1
e2，由f′（x）＜0得0＜x＜
1
e2．
∴f（x）的单调递减区间为（0，
1
e2），单调递增区间为（
1
e2，+∞）．
（2）当x＞1时，令g（x）=
f(x)/x−1]=[x+xlnx/x−1]，则g′（x）=[x−2−lnx
(x−1)2，
设h（x）=x-2-lnx，则h′（x）=1-
1/x]=[x−1/x]＞0，
h（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴∃x₀∈（3，4），且h（x₀）=0，
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x₀）上单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x₀，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（x₀）=
x0+x0lnx0
x0−1，
∵h（x₀）=x₀-2-lnx₀=0，
∴x₀-1=1+lnx₀，g（x₀）=x₀，
∴k＜x₀∈（3，4），∴k的最大值为3．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时合理构造函数是解题的关键．