如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，过点D作D1C的垂线交CC1于点E，交D1C于

解题思路：（I）欲证A₁C⊥BE，而BE⊂平面EBD，可先证A₁C⊥平面BED，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A₁C与平面BED内两相交直线垂直，连接AC交BD于点O，易证A₁C⊥DE，A₁C⊥DE，而BD∩DE=D，满足定理所需条件；
（Ⅱ）连接EO，根据二面角平面角的定义可知∠EOC是二面角E-BD-C的平面角，在直角三角形EOC中求出此角即可；
（Ⅲ）连接A₁B，连接BF，根据线面所成角的定义可知∠EBF为BE与平面A₁D₁C所成的角，在直角三角形EFB中求出角的正弦值即可求出所求．

（I）证明：连接AC交BD于点O，由已知ABCD是正方形，则AC⊥BD．
∵A₁A⊥底面ABCD，由三垂直线定理有A₁C⊥DE．
同理A₁C⊥DE．
∵BD∩DE=D，
∴A₁C⊥平面BED．∴BE⊂平面EBD，∴A₁C⊥BE．（4分）
（Ⅱ）连接EO．由EC⊥平面BCD，且AC⊥BD，知EO⊥BD．
∴∠EOC是二面角E-BD-C的平面角．
已知AD=DC=3，DD₁=4，
可求得D₁C=5，DF=[12/5]，∴CF=[9/5]．
则EF=
27
20，∠C＝
9
4，OC＝
3
2
4．（7分）
在Rt△ECO中，tanEOC=
EC
OC＝
3
2
4．
∴二面角E-BD-A的大小是arctan
2
2
4．（9分）
（Ⅲ）连接A₁B，由A₁D₁∥BC知点B点在平面A₁D₁C内，
由（Ⅰ）知A₁C⊥DE，又∵A₁D₁⊥DE，
且A₁C∩A₁D₁=A₁，∴DE⊥平面A₁D₁C，且F为垂足．
连接BF．∠EBF为BE与平面A₁D₁C所成的角．
∵EF=[27/20，BE＝
15
4]，（13分）
在Rt△FEB中，sinEBF=[EF/BE＝

27
20

15
4＝
9
25]．
∴BE与平面A₁D₁C所成角的正弦值为[9/25]．（14分）

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题主要考查了线面垂直的性质定理，以及二面角的度量和线面所成角的求解，同时考查了空间想象能力和计算能力与推理能力，转化与划归的思想，属于中档题．