抛物线C：y2=2px经过点M（4，-4），

（1）证明：抛物线C：y²=2px经过点M（4，-4），
即有16=8p，解得，p=2．
则抛物线方程为y²=4x，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的方程是y＝
1
2x+m，
由

y＝
1
2x+m
y2＝4x，得y²-8y+8m=0，

y1+y2＝8
y1y2＝8mkAM+kBM＝
y1+4
x1−4+
y2+4
x2−4＝
4
y1−4+
4
y2−4＝
4(y1+y2−8)
(y1−4)(y2−4)＝0，
则直线MA与直线MB的倾斜角互补．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ为直径的圆过点M，则由

MP⊥

MQ，
即有

MP•

MQ=0，
则（x₁-4）（x₂-4）+（y₁+4）（y₂+4）=0，
即(

y21
4−4)(

y22
4−4)+(y1+4)(y2+4)＝0，
化简，得y₁y₂-4（y₁+y₂）=32=0，
则过PQ的直线为y＝
4
y1+y2(x+
y1y2
4)=[4
y1+y2(x+
4(y1+y2)−32/4)=
4
y1+y2(x−8)+4，
则直线恒过定点（8，4）．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查抛物线方程和运用，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查直线和圆的方程，以及直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．

1年前

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