设函数fn（x）=2sin（anx+[π/6]）（an＞0，n∈N*），其周期为n（n+1），Sn是数列{an}的前n项

解题思路：（Ⅰ）利用三角函数的周期直接求a_n，利用裂项法即可求解S_n的表达式；
（Ⅱ）利用b_n=f_n（1）求出b_n的表达式，判断三角函数的相位的范围，通过三角函数的最值，直接求{b_n}的最大、最小项的值；
（Ⅲ）在（2）的条件下，判断数列{S_n}是增函数数列，然后证明：b_n＜S_n．

（Ⅰ）由题意可知T=[2π
an=n（n+1），
∴an＝
2π
n(n+1)，
∵an＝
2π
n(n+1)=2π(
1/n−
1
n+1)，
∴Sn＝2π[(1−
1
2)+(
1
2−
1
3)+…+(
1
n−
1
n+1)]=2π(1−
1
n+1)．
（Ⅱ）b_n=f_n（1）=2sin（
2π
n(n+1)]+[π/6]），
当n=1时，b₁=2sin（π+[π/6]）=-1；
当n≥2时，[π/6＜
2π
n(n+1)]+[π/6]≤[π/3+
π
6＝
π
2]，
∴[1/2]＜sin（[2π
n(n+1)+
π/6]）≤1
∴1＜b_n≤2，
{b_n}的最大、最小项的值分别为2，-1；
（Ⅲ）∵S_n=2π(1−
1
n+1)，
∴Sn+1−Sn＝2π(1−
1
n+2)−2π(1−
1
n+1)=2π(
1
n+1−
1
n+2)＞0
∴{S_n}是递推数列，
∴{S_n}_min=S₁=π，
由于b_n＜2＜π≤S_n，
∴b_n＜S_n．

点评：
本题考点： 数列与三角函数的综合；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题考查三角函数的应用，数列的函数的特征，考查数列与三角函数以及不等式的证明，是综合题目．