已知α，β是方程4x 2 -4tx-1=0（t∈R）的两个不等实根，函数 f(x)= 2x-t x 2 +1 的定义域为

（Ⅰ）设α≤x ₁ ＜x ₂ ≤β，则4x ₁ ² -4tx ₁ -1≤0，4x ₂ ² -4tx ₂ -1≤0，∴ 4(
x 21 +
x 22 )-4t( x 1 + x 2 )-2≤0，∴2 x 1 x 2 -t( x 1 + x 2 )-
1
2 ＜0
则 f( x 2 )-f( x 1 )=
2 x 2 -t

x 22 +1 -
2 x 1 -t

x 21 +1 =
( x 2 - x 1 )[t( x 1 + x 2 )-2 x 1 x 2 +2]
(
x 22 +1)(
x 21 +1)
又 t( x 1 + x 2 )-2 x 1 x 2 +2＞t( x 1 + x 2 )-2 x 1 x 2 +
1
2 ＞0∴f( x 2 )-f( x 1 )＞0
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．（3分）
∵ α+β=t， αβ=-
1
4 ，∴ g(t)=maxf(x)-minf(x)=f(β)-f(α)=
(β-α)[t(α+β)-2αβ+2]
α 2 β 2 + α 2 + β 2 +1 =

t 2 +1 ( t 2 +
5
2 )
t 2 +
25
16 =
8
t 2 +1 (2 t 2 +5)
16 t 2 +25 （6分）
（Ⅱ）证： g(tan u i )=

8
cos u i (
2
cos 2 u i +3)

16
cos 2 u i +9 =

16
cos u i +24cos u i
16+9 cos 2 u i ≥
2
16×24
16+9 cos 2 u i =
16
6
16+9 cos 2 u i (i=1，2，3) （9分）∴
3













i=1
1
g(tan u i ) ≤
1
16
6
3













i=1 (16+9 cos 2 u i )=
1
16
6 (16×3+9×3-9)
3













i=1 sin 2 u i ) （15分）∵
3













i=1 sin u i =1，且 u i ∈(0，
π
2 )，i=1，2，3∴3
3













i=1 sin 2 u i ≥(
3













i=1 sin u i ) 2 =1 ，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，∴
1
g(tan u 1 ) +
1
g(tan u 2 ) +
1
g(tan u 3 ) ＜
3
4
6 ．（14分）