（2013•怀化二模）如图所示，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2，过点A作
（2013•怀化二模）如图所示，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2，过点A作AE⊥PB，AF⊥PC，连接EF．（1）求证：PC⊥面AEF；
（2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G），求多面体P-AEFG的体积．
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解题思路：（1）通过证明AE⊥PC，AE⊥PC，AE∩AF=A，即可证明PC⊥面AEF．
（2）说明AG⊥面PDC，△AGF是直角三角形，求出PF=
，S AEFG＝
，即可求解VP-AEFG．
（2）说明AG⊥面PDC，△AGF是直角三角形，求出PF=
2
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| 3 |
2
| ||
| 3 |
（1）证明：∵PA⊥面ABCD，BC在面内，
∴PA⊥BCBA⊥BC，BC∩BA=B，
∴BC⊥面PAB，
又∵AE在面PAB内∴BC⊥AE
∵AE⊥PB，BC∩PB=B，
∴AE⊥面PBC，
又∵PC在面PBC内∵AE⊥PC，
∵AE⊥PC，AE∩AF=A，
∴PC⊥面AEF．…（5分）
（2）PC⊥面AEF，∴AG⊥PC，
∵AG⊥DC，PC∩DC=C∴AG⊥面PDC，
∵GF在面PDC内∴AG⊥GF
∵△AGF是直角三角形，由（1）可知△AEF是直角三角形，AE=AG=
2，EF=GF=
6
3
∴S AEF＝
3
3，S AGF＝
3
3，又AF=
2
6
3，PF=
2
3
3
∴S AEFG＝
2
点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
考点点评： 本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．
1年前
5
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