如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．

解题思路：（I）利用直三棱柱的性质即可得出四边形BCC1B1是平行四边形，AA1⊥面ABC，∴BC∥B1C1，AA1⊥BC，再利用等边三角形ABC的性质可得AD⊥BC，利用线面垂直的判定和性质定理即可证明；（II）利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；

证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥BC，
在等边△ABC中，D是BC中点，∴AD⊥BC
∵在平面A₁AD中，A₁A∩AD=A，∴BC⊥面A₁AD
又∵A₁D⊂面A₁AD，∴A₁D⊥BC
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形BCC₁B₁是平行四边形，∴B₁C₁∥BC
∴A₁D⊥B₁C₁
（Ⅱ） 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，
在平行四边形ACC₁A₁中联结A₁C，交于AC₁点O，连接DO．
故O为A₁C中点．
在三角形A₁CB中，D 为BC中点，O为A₁C中点，∴DO∥A₁B．
因为DO⊂平面DAC₁，A₁B⊄平面DAC₁，∴A₁B∥面ADC₁
∴A₁B与面ADC₁平行．

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．

考点点评： 熟练掌握直三棱柱的性质、等边三角形的性质、线面垂直的判定和性质定理、平行四边形的性质、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理是就如同的关键．