vanessa1226
幼苗
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(1)45;
(2)如图2,以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°,并在AE上取AE=AB,连接BE和CE,
∵△ACD是等边三角形,
∴AD=AC,∠DAC=60°,
∵∠BAE=60°,
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC,
即∠EAC=∠BAD,
∴△EAC≌△BAD,
∴EC=BD,
∵∠BAE=60°,AE=AB=3,
∴△AEB是等边三角形,
∴∠EBA=60°,EB=3,
∵∠ABC=30°,
∴∠EBC=90°,
∵∠EBC=90°,EB=3,BC=4,
∴EC=5,
∴BD=5;
(3)∠DAC=2∠ABC成立,以下证明:
如图3,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC,
并取BE的中点K,连接AK,
∵AH⊥BC于H,、
∴∠AHC=90°,
∵BE∥AH,
∴∠EBC=90°,
∵∠EBC=90°,BE=2AH,
∴EC
2 =EB
2 +BC
2 =4AH
2 +BC
2 ,
∵BD
2 =4AH
2 +BC
2 ,
∴EC=BD,
∵K为BE的中点,BE=2AH,
∴BK=AH,
∵BK∥AH,
∴四边形AKBH为平行四边形,
又∵∠EBC=90°,
∴四边形AKBH为矩形,
∴∠AKB=90°,
∴AK是BE的垂直平分线,
∴AB=AE,
∵AB=AE,EC=BD,AC=AD,
∴△EAC≌△BAD,
∴∠EAC=∠BAD,
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD,
即∠EAB=∠DAC,
∵∠EBC=90°,∠ABC为锐角,
∴∠ABC=90°-∠EBA,
∵AB=AE,
∴∠EBA=∠BEA,
∴∠EAB=180°-2∠EBA,
∴∠EAB=2∠ABC,
∴∠DAC=2∠ABC。
1年前
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