（2007•海淀区二模）设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)＝2x−mx2+1.

（Ⅰ）α，β是方程x²-mx-1=0的两个实根
∴

α+β＝m
α•β＝−1
∴f(α)＝
2α−m
α2+1＝
2α−(α+β)
α2−αβ＝
α−β
α(α−β)＝
1
α
同理f(β)＝
1
β
∴αf（α）+βf（β）=2
（Ⅱ）∵f(x)＝
2x−m
x2+1
∴f′(x)＝
2(x2+1)−(2x−m)•2x
(x2+1)2＝−
2(x2−mx−1)
(x2+1)2
当x∈（α，β）时，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0
而f'（x）＞0
∴f（x）在（α，β）上为增函数
（Ⅲ）∵λ，μ∈R₊且α＜β
∴[λα+μβ/λ+μ−α＝
λα+μβ−(λ+μ)α
λ+μ＝
μ(β−α)
λ+μ＞0
λα+μβ
λ+μ−β＝
λα+μβ−(λ+μ)β
λ+μ＝
λ(α−β)
λ+μ＜0
∴α＜
λα+μβ
λ+μ＜β
由（Ⅱ）可知f(α)＜f(
λα+μβ
λ+μ)＜f(β)
同理可得f(α)＜f(
μα+λβ
λ+μ)＜f(β)
∴f(α)−f(β)＜f(
λα+μβ
λ+μ)−f(
μα+λβ
λ+μ)＜f(β)−f(α)
∴|f(

点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．

考点点评： 考查学生函数与方程的综合运用能力．

1年前

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