在22世纪末，一宇航员乘宇宙飞船到达一半径为r的某星球地面，（该星球地面的重力加速度g未知）．他将所带的一个如图所示，半
在22世纪末，一宇航员乘宇宙飞船到达一半径为r的某星球地面，（该星球地面的重力加速度g未知）．他将所带的一个如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率从半圆管下入口处进入管内，测得A通过最高点C后，从C点平抛飞落到水平面上耗时为T．测得 B通过最高点C时，对管壁上下部的压力均为0，还测得A、B两球落地点间的水平距离差为4R，且A球射出C点时的速度vA大于B球射出C点时的速度vB，已知万有引力恒量为G，忽略该星球的自转，球的体积公式为V=[4/3]πr3．求：（1）该星球地面的重力加速度g；
（2）该星球的密度ρ；
（3）A通过最高点C时，管壁上部对A的压力为多大？
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解题思路：（1）平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，根据位移时间公式求出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力，求出星球的质量，结合星球的体积求出星球的密度．
（3）A球在最高点靠重力和管壁的作用力提供向心力，B球在最高点靠重力提供向心力，根据水平位移的关系，得出速度的关系，从而结合牛顿第二定律求出作用力的大小．
（2）根据万有引力等于重力，求出星球的质量，结合星球的体积求出星球的密度．
（3）A球在最高点靠重力和管壁的作用力提供向心力，B球在最高点靠重力提供向心力，根据水平位移的关系，得出速度的关系，从而结合牛顿第二定律求出作用力的大小．
（1）A球从C点作平抛运动，则有：2R＝
1
2gT2…①
得出该星球地面的重力加速度：g＝
4R
T2…②
（2）根据万有引力等于物体在该星球上的重力，即：G
Mm
r2＝mg…③
星球的密度为：ρ＝
M
V…④
球的体积公式为：V=[4/3]πr3… ⑤
联立②～⑤式，得：ρ＝
3R
πGT2r…⑥
（3）A球在最高点C时，受重力和管壁对A的压力，这两个力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，有：F+mg＝m
v2A
R…⑦
同样，B球在C点由重力提供向心力，由牛顿第二定律，有：mg＝m
v2B
R…⑧
A、B两球落地点间的水平距离差为4R，有：vAT-vBT=4R…⑨
联立②⑦⑧⑨式得：F＝
32mR
T2…⑩
答：（1）该星球地面的重力加速度为
4R
T2；
（2）该星球的密度为ρ＝
3R
πGT2r；
（3）A通过最高点C时，管壁上部对A的压力为
32mR
T2．
点评：
本题考点： 万有引力定律及其应用；平抛运动．
考点点评： 本题考查了万有引力理论与圆周运动和平抛运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．
1年前
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