若f(x),g(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,且g(x)≠0,试证明(a,b)内存在§ 使[f(a)-f(ξ

这是我知道最简单的证明了 再给你一种类似的 根据拉格朗日中值定理, 我们易知有下列命题 成立: 命题[1] 设函数f( x) 在( a, b) 内可导,"x∈( a, b) , f′( x) >0( f′( x) <0) , 则f( x) 在( a, b) 内严格单调增加 ( 单调减少) . 下面证明柯西中值定理. 证明构造辅助函数 F( x) =[g( b) - g( a) ]f( x) - [f( b) - f( a) ]g( x) 显然F( x) 在[a, b]上连续, 在( a, b) 内可导, 且F( a) =F( b) .现要证明#ξ∈( a, b) , 使F′( ξ) =0. 若否, 则由达布定理知, 对"ξ∈( a, b) , F′( ξ) 恒大于 0 或恒小于0.从而由命题知, F( x) 在( a, b) 内严格单 调, 故F( a) ≠F( b) , 与条件“F( a) =F( b) ”矛盾. 故#ξ∈( a, b) , 使F′( ξ) =0, 即 f′( ξ)/g′( ξ)=[ f( b) - f ( a)]/[g( b) - g( a)] 成立 (#为存在的意思） 还有其他的证明，要看吗，但是有些烦