在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y 2 =2px（p＞0）相交于A、B两点．
| 在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y 2 =2px（p＞0）相交于A、B两点． （I）设N（-p，0），求
（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． |
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（I）依题意，可设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），直线AB的方程为：x=my+p
由
x=my+p
y 2 =2px ⇒y 2 -2pmy-2p 2 =0（2分）∴
y 1 + y 2 =2pm
y 1 • y 2 =-2 p 2
∴
NA •
NB =( x 1 +p， y 1 )•( x 2 +p， y 2 )=( x 1 +p)( x 2 +p)+ y 1 y 2
=(m y 1 +2p)(m y 2 +2p)+ y 1 y 2 =( m 2 +1) y 1 y 2 +2pm( y 1 + y 2 )+4 p 2
=2 p 2 m 2 +2 p 2
当m=0时
NA •
NB 的最小值为2p 2 ．（7分）
（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，AC的中点为o′，l与以AC为直径的圆
相交于P，Q，PQ中点为H，则o′H⊥PQ，o′的坐标为 (
x 1 +p
2 ，
y 1
2 ) ．∵ | o ′ P|=
1
2 |AC|=
1
2
( x 1 -p) 2 + y 1 2 =
1
2
x 1 2 + p 2 （9分）
∴|PH | 2 =| o ′ P | 2 -| o ′ H | 2 =
1
4 ( x 1 2 + p 2 )-
1
4 (2a- x 1 -p ) 2
=(a-
1
2 p) x 1 +a(p-a)
∴ |PQ | 2 =(2|PH| ) 2 =4[(a-
1
2 p) x 1 +a(p-a)] （13分）
令 a-
1
2 p =0得 a=
1
2 p ．此时|PQ|=p为定值．故满足条件的直线l存在，
其方程为x=
1
2 p （15分）
由
x=my+p
y 2 =2px ⇒y 2 -2pmy-2p 2 =0（2分）∴
y 1 + y 2 =2pm
y 1 • y 2 =-2 p 2
∴
NA •
NB =( x 1 +p， y 1 )•( x 2 +p， y 2 )=( x 1 +p)( x 2 +p)+ y 1 y 2
=(m y 1 +2p)(m y 2 +2p)+ y 1 y 2 =( m 2 +1) y 1 y 2 +2pm( y 1 + y 2 )+4 p 2
=2 p 2 m 2 +2 p 2
当m=0时
NA •
NB 的最小值为2p 2 ．（7分）
（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，AC的中点为o′，l与以AC为直径的圆
相交于P，Q，PQ中点为H，则o′H⊥PQ，o′的坐标为 (
x 1 +p
2 ，
y 1
2 ) ．∵ | o ′ P|=
1
2 |AC|=
1
2
( x 1 -p) 2 + y 1 2 =
1
2
x 1 2 + p 2 （9分）
∴|PH | 2 =| o ′ P | 2 -| o ′ H | 2 =
1
4 ( x 1 2 + p 2 )-
1
4 (2a- x 1 -p ) 2
=(a-
1
2 p) x 1 +a(p-a)
∴ |PQ | 2 =(2|PH| ) 2 =4[(a-
1
2 p) x 1 +a(p-a)] （13分）
令 a-
1
2 p =0得 a=
1
2 p ．此时|PQ|=p为定值．故满足条件的直线l存在，
其方程为x=
1
2 p （15分）
1年前
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