设函数f（x，y）在点P（x0，y0）的两个偏导数fx′和fy′都存在，则（　　）

因为f_x′|(x0，y0)=
lim
x→x0
f(x，y0)−f(x0，y0)
x−x0存在，所以
lim
x→x0f(x，y0)存在；
因为f_y′|(x0，y0)=
lim
y→y0
f(x0，y)−f(x0，y0)
y−y0存在，所以
lim
y→y0f(x0，y)存在；
从而选项C正确．
选项A、B、D的反例：
取f（x，y）=


xy
x2+y2，(x，y)≠(0，0)
0，(x，y) ＝(0，0)，
则在点（0，0）处，利用偏导数的定义可得，
f_x′=f_y′=0均存在．
但是
lim
y＝kx→0f(x，y)=k，故
lim
(x，y)→(0，0)f(x，y)不存在，选项D错误．
从而，f（x，y）在点（0，0）处不连续，也不可微．

点评：
本题考点： 多元函数连续、可导、可微的关系．

考点点评： 本题考查了二元函数偏导数存在与连续、可微之间的关系．对于二元函数，偏导数在点（x0，y0）处存在只能保证沿着路径（x，y0）→（x0，y0）以及路径（x0，y）→（x0，y0）的极限存在，不能保证连续性以及可微性．