V_888444
幼苗
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证明:①当n=2时,左端=1+
1
3 =
4
3 ,右端=
5
2 ,又知
16
9 >
5
4 ,∴左端>右端,即当n=2时有原不等式成立.
②假设当n=k时,有原不等式成立,即 (1+
1
3 )(1+
1
5 )…(1+
1
2k-1 )>
2k+1
2 成立,
那么当n=k+1时,有 (1+
1
3 )(1+
1
5 )…(1+
1
2k-1 )(1+
1
2k+1 ) >
2k+1
2 (1+
1
2k+1 ) =
k+1
2k+1
又4k 2 +8k+4>4k 2 +8k+3,∴ 4 (k+1) 2 >
2k+1 •
2k+3
即
k+1
2k+1 >
2k+3
2 ,即 (1+
1
3 )(1+
1
5 )…(1+
1
2n-1 )>
2n+1
2 对n=k时成立,
综上,由①②知,对一切大于1的自然数n,不等式 (1+
1
3 )(1+
1
5 )…(1+
1
2n-1 )>
2n+1
2 成立.
1年前
2