（2012•卢湾区二模）已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数列，公差为d（d＞0）．在a，b之间和b，c之间共插入n

（1）由题意知qn+2＝
c
a，c=a+2d，
又a＞0，d＞0，可得qn+2＝
c
a＝1+
2d
a＞1，（2分）
即|qⁿ⁺²|＞1，故|q|ⁿ⁺²＞1，又n+2是正数，故|q|＞1．（4分）
（2）由a，b，c是首项为1、公差为d的等差数列，故b=1+d，c=1+2d，
若插入的这一个数位于a，b之间，则1+d=q²，1+2d=q³，
消去q可得（1+2d）²=（1+d）³，即d³-d²-d=0，其正根为d＝
1+
5
2．（7分）
若插入的这一个数位于b，c之间，则1+d=q，1+2d=q³，
消去q可得1+2d=（1+d）³，即d³+3d²+d=0，此方程无正根．
故所求公差d＝
1+
5
2．　　　　　　　　　（9分）
（3）由题意得qs+1＝
b
a＝
a+d
a，qt+1＝
c
b＝
a+2d
a+d，又a＞0，d＞0，
故[a+d/a−
a+2d
a+d＝
d2
a(a+d)＞0，可得
a+d
a＞
a+2d
a+d]，又[a+2d/a+d＞0，
故q^s+1＞q^t+1＞0，即|q|^s+1＞|q|^t+1．
又|q|＞1，故有s+1＞t+1，即s＞t．　　（12分）
设n+3个数所构成的等比数列为a_n，则a1＝a，as+2＝b＝
a+c
2，an+3＝c，
由a_ka_n+4-k=a₁a_n+3=ac（k=2，3，4，n+2），
可得（a₂a₃a_n+2）²=（a₂a_n+2）（a₃a_n+1）（a_n+1a₃）（a_n+2a₂）=（ac）ⁿ⁺¹，（14分）
又qs+1＝
b
a＞0，qt+1＝
c

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题综合考查等差数列与等比数列的基础知识以及分类讨论思想在解题中的应用．本题的前二问比较基础，第三问比较麻烦，适合程度较高的学生解答．

1年前

回答问题