三角形ABC内接于圆O,AD垂直BC于D,并延长AD交圆O于E,BF垂直于AC于F交AD于H

连接EC,EC为圆O的一个弦,∠CAE和∠CBE为同圆EC弦的圆周角,所以∠CAE=∠CBE,三角形AHF和三角形BDE分别为直角三角形,所以,∠BED=∠AHF=∠BHD,所以BH=BE,三角形BEH为等边三角形,BD垂直HE,所以,HD=DE.
因为∠BAC=45度,所以直角三角形ABF为等腰直角三角形,AF=BF,∠ACB和∠AEB为弦AB的圆周角,所以,∠ACB＝∠AEB＝∠BHD＝∠AHF,可证直角三角形AFH全等于直角三角形BFC,所以AH=BC=4,BC所对圆周角为45度,那么所对圆心角为90,设半径为X,BC和圆心组成等边直角三角形,BC=√2X=4,X=2√2.