已知函数f（x）=x2-x+a+1

解题思路：（1）根据题意，函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴不相交，由此结合根的判别式建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围；
（2）因为函数的图象对应的抛物线开口向上，关于直线x=[1/2]对称，所以分a≤

1

2

和a＞

1

2

时两种情况加以讨论，结合二次函数的单调性进行求解，即可得到f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式．

（1）∵二次函数f（x）=x²-x+a+1，且f（x）≥0对一切实数x恒成立，
∴△=（-1）²-4（a+1）≤0，即-4a-3≤0，解之得a≥-[3/4]
因此，实数a的取值范围是[-[3/4]，+∞）．
（2）配方，得f（x）=x²-x+a+1=（x-[1/2]）²+a+[3/4]
①当a≤
1
2时，函数在（-∞，a]上为减函数，所以最小值为f（a）=a²+1=g（a）；
②当a＞
1
2时，函数在（-∞，[1/2]]上为减函数，在（[1/2]，a]上是增函数
此时，f（x）的最小值为f（[1/2]）=a+[3/4]
因此f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式为：
g（a）=.

a2+1(a≤
1
2)
a+
3
4(a＞
1
2)．

点评：
本题考点： 二次函数的性质；函数的值域．

考点点评： 本题给出含有字母参数a的二次函数，讨论函数恒成立并求函数在区间（-∞，a]上的最小值．着重考查了二次的图象与性质、分类讨论的思想和分段函数等知识，属于基础题．

分类讨论 秋导数 令其为·0