设f(x)为多项式,其次数n=>2.证明(x-a)^2可整除f(x)当且仅当f(a)=0及f '(a)=0.

高等代数或线性代数的题目吧.我以前也做过,下面再做一遍,仅作参考.
证：=》
(x-a)^2可整除f(x)=>存在多项式g(x),满足f(x)=(x-a)^2*g(x)
f'(x)=2*(x-a)*g(x)+(x-a)^2*g'(x)
代入有f（a）=0,f'(a)=0.
《=
f(a)=0,f '(a)=0
=>x-a可整除f(x),x-a整除 f'(x),
=>存在多项式h(x),满足f(x)=(x-a)*h(x)
f'(x)=h(x)+(x-a)h'(x)
又因为 x-a整除 f'(x),x-a整除(x-a)h'(x)
所以 x-a整除 h（x）,由此不妨设 h(x)=(x-a)*h1(x)
由此 f(x)=(x-a)*h(x)=(x-a)^2*h1(x)
=>(x-a)^2可整除f(x)

把f(x)写成关于x-a的幂次：
f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+a3(x-a)^3+...
==>：
(x-a)^2|f(x) ==> a0=a1=0 ==> f(a)=f'(a)=0
<==：
(x-a)^2|f(x) <== a0=a1=0 <== f(a)=f'(a)=0