已知函数f（x）=lnx-[a/x]．

（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=[x+a
x2，
∵a＞0，∴f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=
x+a
x2，
①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上递增，
∴f（x）min=f（1）=-a=
3/2]，∴a=-[3/2]（舍），
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上递减，
∴f（x）min=f（e）=1-[a/e]=[3/2]，∴a=-[e/2]（舍），
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a，
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）递减，
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）递增，
∴f（x）min=f（-a）=ln（-a）+1=[3/2]，∴a=-
e，
综上a=-
e；
（Ⅲ）∵f（x）＜x²，∴lnx-[a/x]＜x²，又x＞0，∴a＞xlnx-x³，
令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，h′（x）=
1−6x2
x，
∵x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）递减，
∴h（x）＜h（1）=-2＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）递减，
∴g（x）＜g（1）=-1，∴a≥-1时，f（x）＜x²在（1，+∞）恒成立．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道综合题．

1年前

tonghk 幼苗

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总的来说就是求导！配合点不等式的知识，再多就是分离参数而已，
导函数的正负对于原函数的增减，导函数的零点对应原函数的极值点（可能极大，可能极小！）
这是思路！

1年前

2

joycewill 幼苗

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不好意思，因为毕业几年了，好多知识被我忘记了！建议你去看一下，大学里面函数单调性的判断（根据导数来判断一个函数的单调性，非常容易就可以得到答案了）

1年前

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