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解题思路:法一:(I)要证BC⊥面D
1DB,只需证明直线BC垂直面D
1DB内的两条相交直线D
1D、DB即可;
(II)取DC中点E,连接BE,D
1E.说明∠BD
1E为所求角,解三角形D
1BE,求D
1B与平面D
1DCC
1所成角的大小.
法二:建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,
(I)计算
•=0 , •=0就证明了直线BC垂直面D
1DB内的两条相交直线D
1D、DB,从而证明BC⊥面D
1DB.
(II)求出
和平面D
1DCC
1的法向量,计算
|cos<,>|=||,即可求D
1B与平面D
1DCC
1所成角的大小.
解法一:
(I)证明:∵ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,
∴D1D⊥平面ABCD,
∴BC⊥D1D.
∵AB∥CD,AB⊥AD.
∴四边形ABCD为直角梯形,
又∵AB=AD=1,CD=2,
可知BC⊥DB.
∵D1D∩DB=D,
∴BC⊥平面D1DB.(6分)
(II)取DC中点E,连接BE,D1E.
∵DB=BC,
∴BE⊥CD.
∵ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,
∴ABCD⊥D1DCC1.
∴BE⊥D1DCC1.
∴D1E为D1B在平面D1DCC1上的射影,
∴∠BD1E为所求角.
在Rt△D1BE中,BE=1,D1E=
5.tan∠BD1E=
BE
D1E=
5
5.
∴所求角为arctan
5
5.(14分)
解法二:
(I)证明:如图建立坐标系D-xyz,D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).
∴
BC =(−1,1,0),
DD1=(0,0,2),
DB=(1,1,0).
∵
点评:
本题考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
考点点评: 本题考查直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角,考查学生空间想象能力,逻辑思维能力,计算能力,是中档题.
1年前
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