分母是1001的最简真分数有______个．

解题思路：解答此题首先把1001分解质因数，用质因数分别除1001算出不是最简真分数（质因数的倍数为分子的不是最简真分数）的个数，每两个质因数的乘积为分子的已重复计算，要从总个数中减去，再加上以1001为分子的1个，从1001中减去不是最简真分数的总个数即为分母是1001的最简真分数的个数．

分解质因数：1001=7×11×13；
1～1001中，有7的倍数[
1001
7]＝143（个），有11的倍数[
1001
11]＝91（个），有13的倍数[
1001
13]＝77（个）；有7×11=77的倍数[
1001
77]＝13（个），有7×13=91的倍数[
1001
91]＝11（个），有11×13=143的倍数[
1001
143]＝7（个），有1001的倍数1个．
由容斥原理知：在1～1001中能被7或11或13整除的数有（43+91+7）-（13+11+7）+1=281（个），从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720（个）．也就是说，分母为1001的最简分数有720个．

点评：
本题考点： 容斥原理；最简分数；合数分解质因数．

考点点评： 本题主要考查倍数、最简真分数以及容斥原理等方面的知识．