已知函数f（x）=ax-1n（1+x2）（a＞0）．
已知函数f（x）=ax-1n（1+x2）（a＞0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，1n（1+x2）＜x；
（Ⅲ）证明：（1+[124
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，1n（1+x2）＜x；
（Ⅲ）证明：（1+[1
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解题思路：（Ⅰ）由f′(x)＝a−
=
，利用导数性质能判断函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）令g（x）=x-ln（1+x2），得g′(x)＝1−
=
≥0，由此利用导数性质能证明当x＞0时，1n（1+x2）＜x．
（Ⅲ）ln（1+x2）＜x，利用累加法能证明（1+
）（1+
）…（1+
）＜e（n∈N*，n≥2）．
| 2x |
| 1+x2 |
| ax2−2x+a |
| 1+x2 |
（Ⅱ）令g（x）=x-ln（1+x2），得g′(x)＝1−
| 2x |
| 1+x2 |
| (x−1)2 |
| 1+x2 |
（Ⅲ）ln（1+x2）＜x，利用累加法能证明（1+
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 34 |
| 1 |
| n4 |
（Ⅰ）∵f′(x)＝a−
2x
1+x2=
ax2−2x+a
1+x2，
∵a＞0，当△＞0，即0＜a＜1时，
方程ax2-2x+a=0有两个不等正根
1−
1−a2/a]，
1+
1−a2
a，
∴由f′（x）＞0，得x＜
1−
1−a2
a，或x＞
1+
1−a2
a，
由f′（x）＜0，得
1−
1−a2
a＜x＜
1+
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数的单调性的讨论，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累加法、构造法、导数性质的合理运用．
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