已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且有一个顶点的坐标为（0，1）．

解题思路：（Ⅰ）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且有一个顶点的坐标为（0，1），知a²=2b²，b=1，a²=2．由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）假设存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个定点．当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1．当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+(y+

1

3

)2＝

16

9

．由此能够推导出存在定点Q（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个定点．

（Ⅰ）∵椭圆
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为

2
2，
且有一个顶点的坐标为（0，1），
∴a²=2b²，b=1，a²=2．
所以椭圆的方程为
x2
2+y2＝1．（5分）
（Ⅱ）假设存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个定点．
当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1．
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+(y+
1
3)2＝
16
9．
解得这两个圆的交点坐标为（0，1），那么这个定点坐标为（0，1）．（9分）
下证以AB为直径的圆恒过定点Q（0，1）．
设直线l：y＝kx−
1
3，代入
x2
2+y2＝1，有(2k2+1)x2−
4
3kx−
16
9＝0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x1+x2＝
4k
3(2k2+1)，x1x2＝
−16
9(2k2+1)．（11分）
则

QA＝(x1，y1−1)，

QB＝(x2，y

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的探索．综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．