已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为22．

（1）∵椭圆C：
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

2
2，
∴b=1，[c/a]=

2
2，
∵a²=b²+c²，
∴a=
2，b=1，
∴椭圆C的方程为
x2
2+y2＝1…（3分）
（2）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
设直线y=k（x-2），联立椭圆，可得（1+2k²）x²-8kx+8k²-2=0
△=（-8k）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，得k2＜
1
2，…（5分）
条件|

PG−

PH|＜
2
5
3转换一下就是|

GH|＜
2
5
3，
∵x₁+x₂=[8k
1+2k2，x₁x₂=
8k2−2
1+2k2
根据弦长公式，
1+k2•
(
8k
1+2k2)2−4•
8k2−2
1+2k2＜
2
5/3]，得到k2＞
1
4．…（7分）
设P（x，y），则
∵

OG+

OH＝t

OP，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=[1/t]（x₁+x₂），y=[1/t]（y₁+y₂）
根据x₁+x₂=[8k
1+2k2，x₁x₂=
8k2−2
1+2k2，把x₁，x₂消成k，得P(
8k2
t(1+2k2)，
−4k
t(1+2k2))（9分）
然后代入椭圆，得到关系式t2＝
16k2
1+2k2，…（11分）
∴t2＝
16

1
k2+2，
∵
1/4＜k2＜
1
2]，
∴实数t的取值范围为(−2，−
2
6
3)∪(
2
6
3，2)…（13分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆的方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，有难度．

1年前

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