已知数列{a n }的首项a 1 =1，前n项和为S n ，数列{S n +1}是公比为2的等比数列．

（I）S ₁ =a ₁ =1，S ₁ +1=a ₁ +1=2．
因为数列{S _n +1}是公比为2的等比数列，所以 S n +1=( S 1 +1)• 2 n-1 =2• 2 n-1 = 2 n ．
故 S n = 2 n -1 ．…（3分）
当n≥2时， a n = S n - S n-1 =( 2 n -1)-( 2 n-1 -1)= 2 n - 2 n-1 = 2 n-1 ，
当n=1时，经检验， a n = 2 n-1 也成立，
故 a n = 2 n-1 ．…（6分）
（Ⅱ）数列{S _n }中不存在不同的三项S _m ，S _n ，S _k ，使得S _m ，S _n ，S _k 为等差数列．…（7分）
理由如下：假设{S _n }中存在等差数列S _m ，S _n ，S _k ，不失一般性，不妨设S _m ＜S _n ＜S _k ，即m＜n＜k，
则2S _n =S _m +S _k ，…（9分）
由（I）， S n = 2 n -1， S m = 2 m -1， S k = 2 k -1 ．
故2•2 ⁿ -2=2 ^m -1+2 ^k -1，即2 ⁿ⁺¹ =2 ^m +2 ^k ，即2 ^n+1-m =1+2 ^k-m ，
由m＜n＜k知，上式左边为偶数，右边为奇数，不可能相等．…（11分）
故假设错误，从而数列{S _n }中不存在不同的三项S _m ，S _n ，S _k ，使得S _m ，S _n ，S _k 为等差数列．…（12分）