证明函数f（x）=(1+x)1x，x≠0e

解题思路：此题考查分段函数的导数求法，以及函数的连续性．先将分段点外的导函数用求导法则求出来，然后用导数的定义法求出分段点的导数，再判断导函数的连续性．

①当x≠0且x＞-1时，f(x)＝(1+x)e
1
x，
此时：
f′(x)＝[e
1
xln(1+x)]′=(1+x)
1
x•[−
1
x2ln(1+x)+
1
x(1+x)]=(1+x)
1
x•
x−(1+x)ln(1+x)
x2(1+x)，
又：
lim
x→0f(x)＝
lim
x→0(1+x)
1
x=
lim
x→0e
ln(1+x)
x＝e，

lim
x→0
x−(1+x)ln(1+x)
x2(1+x)=
lim
x→0
−ln(1+x)
2x+3x2＝−
1
2，
∴
lim
x→0f′(x)＝−
e
2，

②f′(0)＝
lim
x→0
f(x)−f(0)
x=
lim
x→0
f′(x)
1＝−
e
2
∴
lim
x→0f′(x)＝f′(0)
从而：函数f（x）在（-1+∞）上可导，且f′（x）在x=0处连续．

点评：
本题考点： 函数连续的充要条件；函数的可导性和连续性的关系．

考点点评： 在求导的过程中，用到了幂指函数的极限和导数求法，一般可以将幂指函数f（x）g（x）转化成eg（x）lnf（x）来求极限和求导数．