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(1)由[1/x−1≥0得定义域为(0,1].
(2)f(x)在(0,1)内单调递减,证明如下.
设0<x1<x2≤1,则f(x2)−f(x1)=
1
x2−1−
1
x1−1=
x1−x2
x2x1
1
x2−1+
1
x1−1<0.
即f(x2)<f(x1).这就是说函数f(x)在(0,1]上单调递减.
(3)令y=
1
x−1],解得x=
1
1+y2(y≥0),即f−1(x)=
1
1+x2(x≥0).
(4)由f-1(x1)f-1(x2)>f-1(m),
化简得到:(1+x12)(1+x22)<1+m2.
注意到m=x1+x2,以及x1,x2>0代入整理得:x1x2<2.
把x2=m-x1代入整理得到:x12-mx1+2>0.
该关于x1的不等式对于一切(0,m)内的x1恒成立.
所以(
m
2)2−m•
m
2+2>0.解得0<m<2
2.
点评:
本题考点: 反函数;函数的定义域及其求法;函数单调性的判断与证明;函数恒成立问题.
考点点评: 本题主要考查反函数的知识点,解答本题的关键是会求出一个函数的反函数,本题第(4)问有点难度,但是只要理解题意,解决恒成立问题也比较简单,本题难度一般.
1年前
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