（2011•揭阳一模）已知数列{an}是公比q＞1的等比数列，且a1+a2=40，a1a2=256，又 bn=

解题思路：（1）解法1：根据a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1，确定数列的a₁、a₂的值，从而可求公比，进而可求数列{a_n}的通项，利用b_n=log₂a_n，可求数列{b_n}的通项公式；
解法2：根据a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1，确定数列的a₁、a₂的值，从而可求公比，进而根据b_n=log₂a_n，可得{b_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）当n≥2时，T_n-T_n-1=b_n-1=2n-1，根据T_n=（T_n-T_n-1）+（T_n-1-T_n-2）+…（T₃-T₂）+（T₂-T₁）+T₁，可求T_n的值，进而可得

1

Tn

＝

1

(n−1)(n+1)

＝

1

2

(

1

n−1

−

1

n+1

)，由此可证结论．

（1）解法1：∵a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1，解得

a1＝8
a2＝32---------------（2分）
∴q＝
a2
a1＝4，∴an＝a1qn−1＝8×4n−1＝22n+1---------------------------------（4分）
∴b_n=log₂a_n=log222n+1＝2n+1--------------------------------------------（6分）
解法2：由a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1得

a1＝8
a2＝32，∴q＝
a2
a1＝4------------------------------------（2分）
∴bn+1−bn＝log2an+1−log2an＝log
an+1
an＝log24＝2，----------------------------（3分）
又b₁=log₂a₁=log₂8=3，-------------------------------------------------------（4分）
∴{b_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，----------------------------------------（5分）
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1；----------------------------------------------------（6分）】
（2）当n≥2时，T_n-T_n-1=b_n-1=2n-1，
∴T_n=（T_n-T_n-1）+（T_n-1-T_n-2）+…（T₃-T₂）+（T₂-T₁）+T₁
=

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的项与公比，利用叠加法与裂项法求和，利用放缩法证明不等式．