（2014•揭阳二模）已知等比数列{an}满足：a2=4，公比q=2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=[4/3]b

（2014•揭阳二模）已知等比数列{an}满足：a2=4，公比q=2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=[4/3]bn-[2/3]an+[2/3]（n∈N*）．
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项an和bn；
（2）设Pn=
an
Sn
（n∈N*），证明：
n
i＝1
Pi＜[3/2]．
hgsmde 1年前 已收到1个回答 举报
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jiushiguanni 幼苗

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解题思路：（1）由已知得an＝a2•2n−2＝2n．所以Sn＝
4
3
b n−
2
3
(2n−1)，由此推导出数列{bn+2n}是首项为b1+2=4，公比为4的等比数列，从而求出bn＝4n−2n．
（2）由bn＝4n−2n，得Pn＝
an
Sn
＝
2n
2
3
(2n+1−1)(2n−1)
＝
3
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1−1
)，由此能证明
n
i＝1
Pi＜[3/2]．

（1）由a2=4，q=2得，an＝a2•2n−2＝2n．（2分）由上式结合Sn＝43b n−23an+23，得Sn＝43b n−23(2n−1)，则当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=43bn−23(2n−1)−43bn−1+23(2n−1−1)，（4分）∴bn−2n+1-4bn-1+2n=0...

点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．

1年前

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