（2014•黄浦区一模）已知数列{an}，满足a2=6，an+1−an+1an+1+an−1＝1n（n∈N*），

解题思路：（1）利用a₂=6，

an+1−an+1

an+1+an−1

＝

1

n

，代入计算，可求a₁，a₃，a₄，a₅的值；
（2）由（1）知，a_n=n（2n-1），根据数学归纳法的证明步骤证明；
（3）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和，再利用

lim

n→∞

n

2n

＝0，即可求

lim

n→∞

Sn．

（1）∵a₂=6，
an+1−an+1
an+1+an−1＝
1
n，
∴
6−a1+1
6+a1−1＝1，∴a₁=1，
∵
a3−6+1
a3+6−1＝
1
2，∴a₃=15，
∵
a4−15+1
a4+15−1＝
1
3，∴a₄=28，
∵
a5−28+1
a5+28−1＝
1
4，∴a₅=45；
（2）由（1）知，a_n=n（2n-1），证明如下：
①n=1时，a₁=1成立；
②假设n=k时，猜想成立，即a_k=k（2k-1），则
n=k+1时，
ak+1−k(2k−1)+1
ak+1+k(2k−1)−1＝
1
k，∴a_k+1=（k+1）（2k+1），
即n=k+1时，猜想成立．
由①②可知a_n=n（2n-1）．
（3）bn＝
n(2n−1)
n•2n=(2n−1)•
1
2n，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1•
1
2+3•
1
22+…+(2n−1)•
1
2n，
∴[1/2]S_n=1•
1
22+…+(2n−3)•
1
2n+(2n−1)•
1
2n+1，
两式相减可得

点评：
本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法的运用，考查数列的极限，考查数列的求和，正确确定数列的通项是关键．