（2014•合肥模拟）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（2014•合肥模拟）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=anlog
an，Sn=b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=anlog
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（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q．
依题意，
有2（a3+2）=a2+a4，
代入a2+a3+a4=28，
得a3=8．
∴a2+a4=20．
∴
a1q+a1q3＝20
a3＝a1q2＝8
解之得
q＝2
a1＝2，或
q＝
1
2
a1＝32
又{an}单调递增，
∴q=2，a1=2，∴an=2n，
（2）bn=2n•log[1/2]2n=-n•2n，
∴-Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①
-2Sn=1×22+2×23++（n-1）2n+n•2n+1②
①-②得，Sn=2+22+23++2n-n•2n+1
=
2(1−2n)
1−2-n•2n+1
=2n+1-2-n•2n+1
由Sn+（n+m）an+1＜0，
即2n+1-2-n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，
∴m•2n+1＜2-2n+1．
对任意正整数n，
m
依题意，
有2（a3+2）=a2+a4，
代入a2+a3+a4=28，
得a3=8．
∴a2+a4=20．
∴
a1q+a1q3＝20
a3＝a1q2＝8
解之得
q＝2
a1＝2，或
q＝
1
2
a1＝32
又{an}单调递增，
∴q=2，a1=2，∴an=2n，
（2）bn=2n•log[1/2]2n=-n•2n，
∴-Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①
-2Sn=1×22+2×23++（n-1）2n+n•2n+1②
①-②得，Sn=2+22+23++2n-n•2n+1
=
2(1−2n)
1−2-n•2n+1
=2n+1-2-n•2n+1
由Sn+（n+m）an+1＜0，
即2n+1-2-n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，
∴m•2n+1＜2-2n+1．
对任意正整数n，
m
1年前
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