微分方程应用题,小船从河边点o出发开向对岸,设船速为a.船航行方向始...

微分方程应用题,小船从河边点o出发开向对岸,设船速为a.船航行方向始...
微分方程应用题,小船从河边点o出发开向对岸,设船速为a.船航行方向始终与河岸垂直,又设河宽h.河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k）.求小船的航行路线

mikewolf2008 1年前已收到3个回答举报

诸葛会亮吗幼苗

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dx/dt=k*(h-at)
dx=k(h-at)dt
x=kht-(1/2)akt^2+C0
t=0,C0=0
x=kht-(1/2)akt^2
y=at
x=kh*(y/a)-(1/2)ak(y^2/a^2)
抛物线

1年前

beauty-killer 幼苗

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如图，曲线为小船的轨迹
设小船从O点出发，当小船移动到如图位置的时候：
因为关系式dy/dx=切线的斜率，而斜率就是合速度的斜率
所以，通过水流速度v水=ky(h-y),小船速度=a，则合速度的斜率=小船速度/水流速度=a/(ky(h-y))
所以轨迹方程为dy/dx=a/(ky(h-y))
因为这个微分方程不好解，故取倒数dx/dy=ky(h-y)/a

1年前

cqdq 幼苗

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设在t时刻船沿垂直河岸的位移为x,沿平行于河岸方向的位移为y,船在t=0时刻启航。
则x=at
在t时刻船所在位置的水流速为v=kx(h-x)
则从t到t+dt时刻的位移为 dy=v·dt=kx(h-x)·dt
=kx(h-x)·(dt/dx)·dx
=kx(h-x)·(1/a)·dx
=(k/a)x(h-x)·dx
两边积分得
y=...

1年前

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