(本题满分12分) 如图,正三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 的所有棱长均为2,P是侧棱AA 1 上任意一点.

(2) AP="1" (3) arctan

(1)证明:连结B ₁ P,假设B ₁ P⊥平面ACC ₁ A ₁ ,

则B ₁ P⊥A ₁ C ₁ .由于三棱柱ABC—A ₁ B ₁ C ₁ 为正三棱柱,
∴AA ₁ ⊥A ₁ C ₁ .∴A ₁ C ₁ ⊥侧面ABB ₁ A ₁ .∴A ₁ C ₁ ⊥A ₁ B ₁ ，即∠B ₁ A ₁ C ₁ =90°.
这与△A ₁ B ₁ C ₁ 是等边三角形矛盾.∴B ₁ P不可能与平面ACC ₁ A ₁ 垂直.
(2)取A ₁ B ₁ 的中点D,连结C ₁ D、BD、BC ₁ ,则C ₁ D⊥A ₁ B ₁ ,又∵AA ₁ ⊥平面A ₁ B ₁ C ₁ ,
∴AA ₁ ⊥C ₁ D.∴C ₁ D⊥平面ABB ₁ A ₁ .∴BD是BC ₁ 在平面ABB ₁ A ₁ 上的射影.
∵BC ₁ ⊥B ₁ P.∴BD⊥B ₁ P.∴∠B ₁ BD=90°-∠BB ₁ P=∠A ₁ B ₁ P.又A ₁ B ₁ =B ₁ B=2,
∴△BB ₁ D≌△B ₁ A ₁ P,A ₁ P=B ₁ D="1." ∴AP=1.
(3)连结B ₁ C,交BC ₁ 于点O,则BC ₁ ⊥B ₁ C.又BC ₁ ⊥B ₁ P,∴BC ₁ ⊥平面B ₁ CP.过O在平面CPB ₁ 上作OE⊥B ₁ P,交B ₁ P于点E,连结C ₁ E,则B ₁ P⊥C ₁ E,∴∠OEC ₁ 是二面角C-B ₁ P-C ₁ 的平面角.
由于CP=B ₁ P= ,O为B ₁ C的中点,连结OP,∴PO⊥B ₁ C,OP·OB ₁ =OE·B ₁ P.∴OE= .
∴tan∠OEC ₁ = = .∴∠OEC ₁ =arctan . 故二面角CB ₁ PC ₁ 的大小为arctan .