如图1：在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠BAE=∠FAE．

解题思路：（1）过E作EM⊥AF交AF于点M，则可证明△ABE≌△AME，△EMF≌△ECF，可得出结论；
（2）设FC=x，借助（1）的结论可得出AF=12+x，DF=12-x，在Rt△ADF中由勾股定理得出方程求解即可；
（3）过G作BC的平行线RS，由条件可得出RG=[1/4]BC，SG=[3/4]BC，再由平行线分线段成比例可求出[PG/QG]的值．

（1）AF=BC+FC，证明如下：
如图1，过E作EM⊥AF交AF于点M，

∵∠BAE=∠FAE，
∴BE=ME，
在Rt△ABE和Rt△AME中，


AE=AE
BE=ME，
∴Rt△ABE≌Rt△AME（HL），
∴AM=AB=BC，ME=BE=EC，
在Rt△MFE和Rt△CFE中，


EF=EF
ME=CE，
∴Rt△MFE≌Rt△CFE（HL），
∴MF=FC，
∴AF=AM+MF=BC+FC；
（2）设FC=x，由（1）可知MF=x，AM=AD=AB=12，则DF=12-x，AF=12+x，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得：AD²+DF²=AF²，
即12²+（12-x）²=（12+x）²，解得x=3，
即FC=3；
（3）如图2，过G作RS∥BC，交AB于点R，交CD于点S，

∵G为AE中点，
∴R为AB中点，
∴RG=[1/2]BE=[1/4]BC，GS=RS-RG=BC-RG=BC-[1/4]BC=[3/4]BC，
∵AB∥CD，
∴[PG/QG]=[RG/SG]=

1
4BC

3
4BC=[1/3]．

点评：
本题考点： 四边形综合题．

考点点评： 本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的综合应用，在（1）中构造三角形全等找到线段之间的关系是解题的关键，在（3）中过G作平行线把[PG/QG]的值转化成[RG/SG]是解题的关键．