若f(x)在区间[0,1]上连续在(0,1)上可微,且f(0)=1,f(1)=0.试证：在(0,1)内至少有一点x使f

若f(x)在区间[0,1]上连续在(0,1)上可微,且f(0)=1,f(1)=0.试证：在(0,1)内至少有一点x使f(x)+xf'(x)=0

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七月猫咪幼苗

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令F(x)=xf(x),则F'(x)=f(x)+xf'(x),显然
F(0)=0,F(1)=f（1）=0,有Rolle中值定理得
存在c使得F'(c)=0,即
f(c)+cf'(c)=0.得证.

1年前追问

siva_chiper 举报

可以详细一点吗？

举报七月猫咪

这多详细啊，不需要再多写一句话了。

麦克比幼苗

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f'(1)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=-1
令F(x)=f(x)+xf'(x)
F(0)=f(0)+0=1
F(1)=f(1)+f'(1)=0-1=-1
因为f(x)在区间[0,1]上连续在(0,1)上可微
所以F(x)在区间[0,1]上连续
由罗尔定理可知
在[0,1]上存在一点x1
使得F(x1)=0
即f(x)+xf'(x)=0

1年前

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1年前1个回答

你能帮帮他们吗

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