设f(x),g(x),在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(x)g(x)的导数相等,证明是否存在常数C,使得f(

设f(x),g(x),在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(x)g(x)的导数相等,证明是否存在常数C,使得f(x)=g(x)+C

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要知道你的问题是拉格朗日中值定理的一个推论,
首先我们要先由拉格朗日中值定理得到推论：若函数f在区间I上可导,且f的导数=0,则f在I上是一个常量函数.
下面来证明你所提的问题：
作辅助函数F=f-g
因为在(a,b)上,f(x)与g(x)的导数相等
则在(a,b)上,F的导数=0
所以由上述推论：F在(a,b)上是一个常量函数,不妨设F=C,（C为常数）
所以f-g=C,即f=g+C

1年前

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