已知函数f（x）=lnx-ax+[1−a/x]-1（a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，f′(x)＝
1
x−1，
∵点（1，-2）在函数图象上，
∴在点（1，-2）的切线斜率为k=f′（1）=0，
∴所求切线方程为y=-2；
（Ⅱ）∵f(x)＝lnx−ax+
1−a
x−1(a∈R)，
∴f′(x)＝
1
x−a−
1−a
x2=−
ax2−x+1−a
x2，x∈(0，+∞)，
令h（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
当a≥
1
2时，由f′（x）=0，则ax²-x+1-a=0，解得x1＝1，x2＝
1
a−1，
①当a＝
1
2时，x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当[1/2＜a＜1时，0＜
1
a−1＜1，
x∈(0，
1
a−1)时，h（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
x∈(
1
a−1，1)时，h（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
③当a≥1时，由于
1
a−1≤0，
x∈（0，1）时，h（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
综上所述：
当a=
1
2]时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当[1/2＜a＜1时，函数f（x）在（0，
1
a−1）上单调递减，在(
1
a−1，1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当a≥1时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（Ⅲ）证明：由已知得g（x）=lnx-ax，k＝
g(x2)−g(x1)
x2−x1]=
lnx2−lnx1
x2−x1−a，
令φ（x）=g′(x)−k＝
1
x−
lnx2−lnx1
x2−x1，
则φ（x₁）=[1
x1−
lnx2−lnx1
x2−x1＝
1
x2−x1(
x2
x1−1−ln
x2
x1)，
φ（x₂）=
1
x2−
lnx2−lnx1
x2−x1=−
1
x2−x1(
x1
x2−1−ln
x1
x2)，
令F（t）=t-1-lnt，则F′(t)＝1−
1/t＝
t−1
t(t＞0)，
当0＜t＜1时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；
当t＞1时，F′（t）＞0，F（t）单调递增．
故当t≠1时，F（t）＞F（1）=0，即t-1-lnt＞0．
从而
x2
x1−1−ln
x2
x1＞0，
x1
x2−1−ln
x1
x2＞0，
∴φ（x₁）＞0，φ（x₂）＜0．
∵函数φ（x）在区间（x₁，x₂）上的图象是连续不断的一条曲线，
∴存在x₀∈（x₁，x₂），使φ（x₀）=0，
∴g′（x₀）=k成立．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本小题主要考查函数导数的几何意义、函数的单调性与极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析问题解决问题的能力，考查了分类讨论、数形结合、函数与方程、化归转化的数学思想方法．是高考试卷中的压轴题．

1年前

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