已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数

解题思路：（1）由f（x）=sinx+cosx=2f′（x），可求得tanx，将

1+sin2x

cos2x−sinxcosx

转换为

2tan2x+1

1−tanx

即可求得答案；
（2）利用导数公式与三角函数间的关系式将F（x）化为F（x）=1+

2

sin（2x+[π/4]），利用正弦函数的性质即可求其最大值和最小正周期．

（1）∵f（x）=sinx+cosx=f′（x），
∴sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，
∴tanx=[1/3]，
∴
1+sin2x
cos2x−sinxcosx=
2sin2x+cos2x
cos2x−sinxcosx=
2tan2x+1
1−tanx=

11
9

2
3=[11/6]．
（2）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+
2sin（2x+[π/4]）．
∴当2x+[π/4]=2kπ+[π/2]，即x=kπ+[π/8]（k∈Z）时，F（x）_max=1+
2，最小正周期T=[2π/2]=π．

点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；导数的运算．

考点点评： 本题考查两角和与差的正弦函数，考查三角函数间的关系式及正弦函数的性质，求得F（x）=1+2sin（2x+[π/4]）是关键，也是难点，属于中档题．