函数f（x）=ax2+x-1+3a（a∈R）在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围．

解题思路：当a=0时，f（x）=x-1满足条件；当a≠0时，函数f（x）在区间[-1，1]上有零点分为三种情况：①方程f（x）=0在区间[-1，1]上有重根，②若函数y=f（x）在区间[-1，1]上只有一个零点，但不是f（x）=0的重根，③若函数y=f（x）在区间[-1，1]上有两个零点，分类讨论求出满足条件的a的范围后，综合讨论结果，可得答案．

当a=0时，f（x）=x-1，令f（x）=0，得x=1，是区间[-1，1]上的零点．
当a≠0时，函数f（x）在区间[-1，1]上有零点分为三种情况：
①方程f（x）=0在区间[-1，1]上有重根，
令△=1-4a（-1+3a）=0，解得a＝−
1
6或a＝
1
2．
当a＝−
1
6时，令f（x）=0，得x=3，不是区间[-1，1]上的零点．
当a＝
1
2时，令f（x）=0，得x=-1，是区间[-1，1]上的零点．
②若函数y=f（x）在区间[-1，1]上只有一个零点，但不是f（x）=0的重根，
令f（1）f（-1）=4a（4a-2）≤0，解得0＜a≤
1
2．
③若函数y=f（x）在区间[-1，1]上有两个零点，
则

a＞0
△＝−12a2+4a+1＞0
−1＜−
1
2a＜1
f(1)≥0
f(−1)≥0.或

a＜0
△＝−12a2+4a+1＞0
−1＜−
1
2a＜1
f(1)≤0
f(−1)≤0.
解得a∈∅．
综上可知，实数a的取值范围为[0，
1
2]．

点评：
本题考点： 函数的零点．

考点点评： 本题考查二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，要注意函数图象与x轴相切的情况，属于中档题．