1、用洛必达法则求limx趋近于0时 sin^4(2x)/x^3 的极限 2、limn趋于无穷（1/n^a +2/n^a

1. 注意到每次上面求导之后会出一个cos2x,这个东西在x->0是极限是1,所以可以扔掉
下面的过程中x->0就不写了,逐次求导
lim（sin^4(2x)/x^3）=lim(8sin^3(2x)/6x^2)=lim(48sin^2(2x)/12x)=lim(4sin^2(2x)/x)
=lim(16sin(2x))=0
2.是一个等差数列,求和为n(n+1)/2n^a,
∴a=2时极限是1/2,a>2是极限是0
3. 其实就是用一下连续函数的介值定理,随便一本教材上都会有的,网上也很好查大致思路就是取一个所有它大的东西的下确界.
4. 记f(x)=e^x + e^(-x) +2cosx-5 f与x轴的交点就是解
f'(x)=e^x - e^(-x) -2sinx f''(x)=e^x + e^(-x) -2cosx
由均值不等式, e^x + e^(-x)>=2>=2cosx 所以f''(x)恒非负
所以f'(x)单调递增,容易看出f(-无穷)0,所以f是先减后增的
所以f与x轴至多有2个交点.又因为f(-无穷)>0,f(0)0
所以由介质性质,f在（负无穷,0）与（0,正无穷）上与x轴都会有交点
所以恰有2个交点,也就是2个解
5. 两个不等号证明方法类似,以左边为例
记f(x)=ln(x+1)-x/(x+1) 则f'(x)=1/(x+1)-1/(x+1)^2=x/(1+x)^2>0
所以f单调递增 又f(0)=0-0=0 所以f在x>0时大于0
即ln(x+1)>x/(x+1) 另一边类似
6.两个都是奇函数,又因为区间关于0对称,所以积分结果都是0
（证明：设f(x)是奇函数,区间为（-a,a）,则可以分成两段（-a,0）和(0,a),在第一段上做代换t=-x,区间就和第二段的一样了,加起来就是0了）