已知圆O：x2+y2=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线l：x=-4为准线的椭圆．
已知圆O：x2+y2=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线l：x=-4为准线的椭圆．（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M是直线l上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标．
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解题思路：（1）因为A，B两点是圆O：x2+y2=8与x轴的交点，所以坐标可知，椭圆的长轴长也就可知，a就能求出，再根据x=-4为椭圆准线，得到c值，再用a，b，c的关系式求出b值即可．
（2）先根据M点的坐标设出以OM为直径的圆K的方程，与圆O方程联立，消去x2，y2，在判断所得的直线方程是否过定点即可．
（2）先根据M点的坐标设出以OM为直径的圆K的方程，与圆O方程联立，消去x2，y2，在判断所得的直线方程是否过定点即可．
（1）设椭圆的标准方程为
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)，则：
a＝2
2
a2
c＝4，从而：
a＝2
2
c＝2，故b=2，所以椭圆的标准方程为
x2
8+
y2
4＝1．
（2）设M（-4，m），则圆K方程为(x+2)2+(y−
m
2)2＝
m2
4+4与圆O：x2+y2=8联立消去x2，y2得PQ的方程为4x-my+8=0，过定点E（-2，0）
点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．
考点点评： 本题考查了椭圆方程的求法，以及圆与圆位置关系的判断，属于圆锥曲线与圆的综合题．
1年前
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