在各项均为正数的数列{an}中,Sn为前n项和,n*[a(n+1)]^2=(n+1)*(an)^2+an*a(n+1),

小川的解法正确.
n*[a(n+1)]^2=(n+1)*(an)^2+an*a(n+1)
展开,移项,分解,得
(a(n+1)+an)[na(n+1)-(n+1)an]=0.
因为各项均为正数,
a(n+1)+an≠0,
∴na(n+1)-(n+1)an=0,
即n/(n+1)=an/a(n+1).
当n=1,1/2=a1/a2,
当n=2,2/3=a2/a3,
当n=3,3/4=a3/a4.
又a3=π
解得a1=π/ 3,a2=2π/3,a4=4π/3.
S4=10π/3.
tanS4=√3.

n*[a(n+1)]^2=n*(an)^2+(an)^2+an*a(n+1)拆项
n*[a(n+1)+an]*[a(n+1)-an]=an[an+a(n+1)]移项合并
n*a(n+1)=an*(n+1)
n/n+1=an/a(n+1)
因为a3=π
所以a4=4/3π
a2=2/3π
a1=1/3π
S4=10/3π
tans4=根号3