想请教关于抽样的一道数学概率统计题
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来自某总体的一个简单随机样本X1 X2,下面是关于总体均值 u 的两个估计^u1=1/3 X1 + 2/3 X2,^u2= 1/2 X1 + 1/2 X2 ,
1）验证两个估计的无偏性；2）两个估计那个相对有效?
来自某总体的一个简单随机样本X1 X2,下面是关于总体均值 u 的两个估计^u1=1/3 X1 + 2/3 X2,^u2= 1/2 X1 + 1/2 X2 ,
1）验证两个估计的无偏性；2）两个估计那个相对有效?
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∵x1和x2简单随机样本,∴E(x1)=E(x2)=μ D(x1)=D(x2)=σ²
1)要证明无偏性,只要证明E(^μ)=μ.
E(^μ1)=E(1/3 X1+2/3 X2)=1/3E(X1)+2/3E(X2)=1/3μ+2/3μ=μ,∴^μ1是μ的无偏估计量
E(^μ2)=E(1/2 X1+1/2 X2)=1/2E(X1)+1/2E(X2)=1/2μ+1/2μ=μ,∴^μ2是μ的无偏估计量
2)由1）得,^μ1、^μ2都是μ的无偏估计量
D(^μ1)=D(1/3 X1+2/3 X2)=1/9D(X1)+4/9D(X2)=1/9σ²+4/9σ²=5/9σ²
D(^μ2)=D(1/2 X1+1/2 X2)=1/49D(X1)+1/4D(X2)=1/4σ²+1/4σ²=1/2σ²
∵D(^μ2)
1)要证明无偏性,只要证明E(^μ)=μ.
E(^μ1)=E(1/3 X1+2/3 X2)=1/3E(X1)+2/3E(X2)=1/3μ+2/3μ=μ,∴^μ1是μ的无偏估计量
E(^μ2)=E(1/2 X1+1/2 X2)=1/2E(X1)+1/2E(X2)=1/2μ+1/2μ=μ,∴^μ2是μ的无偏估计量
2)由1）得,^μ1、^μ2都是μ的无偏估计量
D(^μ1)=D(1/3 X1+2/3 X2)=1/9D(X1)+4/9D(X2)=1/9σ²+4/9σ²=5/9σ²
D(^μ2)=D(1/2 X1+1/2 X2)=1/49D(X1)+1/4D(X2)=1/4σ²+1/4σ²=1/2σ²
∵D(^μ2)
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