（2012•桂林模拟）已知数列{an}是正项数列，其首项a1=3，前n项和为Sn，4Sn＝a2n+2an+4(n≥2)．

（2012•桂林模拟）已知数列{an}是正项数列，其首项a1=3，前n项和为Sn，4Sn＝
a
2
n
+2an+4(n≥2)．
（1）求数列{an}的第二项a2及通项公式；
（2）设bn＝
1
Sn
，记数列{bn}的前n项和为Kn，求证：Kn＜
17
21
．
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鬼魅泥沙 幼苗

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解题思路：（1）由题设知S2＝(
a2/2
)2+
a2
2
+1，解得a2=4，由Sn＝(
an
2
)2+
an
2
+1，n≥2，得Sn−1＝(
an−1
2
)2+
an−1
2
+1，n≥3，由此能求出数列{an}的第二项a2及通项公式
（2）由Sn=n2+n+1，知bn＝
1
Sn]=[1
n2+n+1
＜
1
n2+n
=
1/n
−
1
n+1]，利用裂项求和法能够证明Kn＜
17
21
．

（1）∵数列{an}是正项数列，其首项a1=3，
前n项和为Sn，4Sn＝
a2n+2an+4(n≥2)，
∴S2＝(
a2
2)2+
a2
2+1，
∴3+a2=(
a2
2)2+
a2
2+1，
解得a2=4，或a2=-2（舍），
由Sn＝(
an
2)2+
an
2+1，n≥2，
得Sn−1＝(
an−1
2)2+
an−1
2+1，n≥3，
两式相减，得：(
an+an−1
2)•(
an−an−1
2−1)＝0，n≥3，
∴an-an-1=2，n≥3，
∴an＝

3，n＝1
2n，n≥2．
（2）∵Sn=n2+n+1，
∴bn＝
1
Sn=[1
n2+n+1＜
1

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意错位相减法的合理运用．

1年前

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