(线性代数)求证：其中ABC分别为n阶方阵,A为可逆矩阵.tr为矩阵的迹,trA=a11+a22+a33+...+ann

全是些基本功的东西, 关键是要动手算
第一题你如果想算得轻松一点就得掌握三样东西
1. grad[tr(A^TB)] = B
这个没什么好说的, 把乘法乘出来然后按定义算一遍
类似地, grad[tr(B^TA)] = B
这是对一次函数求导的基本结论
2. 乘法求导法则(uv)'=u'v+uv'
3. tr(XY)=tr(YX)
有了这些工具之后做这题就方便了
利用乘法的法则, grad[tr(ABA^TC)]展开应该有四项, 当然其中B和C求导的两项显然是0, 所以最终只有涉及A的两项需要算
第一项是把B, A^T, C固定, 对A求导
利用tr的交换性质, tr(A * BA^TC) = tr(BA^TC * A), 然后由第1条性质得到这一项是(BA^TC)^T=C^TAB^T
第三项是把A, B, C固定, 对A^T部分求导
同样用tr的性质, tr(ABA^TC) = tr(A^TCAB), 所以这一项应该是CAB
当然你也可以直接把ABA^TC硬乘出来再按定义算
第二题则完全用定义就行了
grad(|A|)中的第ij元素就是看|A|对a(i,j)的依赖关系, 那么只要按定义展开|A|就得到grad(|A|)中的这个分量应该是A在i,j位置的代数余子式, 所以grad(|A|)=adj(A)^T, 即伴随矩阵的转置
再利用伴随矩阵和逆矩阵的关系adj(A)=|A|A^{-1}即得结论