已知2sinx+2cosx＝85，且[π/4＜x＜π2]，求sin2x(1+tanx)1−tanx的值．

解题思路：已知等式左边提取2变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简求出cos（x-[π/4]）的值，根据x的范围求出这个角的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（x-[π/4]）的值，进而确定出tan（x-[π/4]）的值，确定出tan（x+[π/4]）的值，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式求出sin2x的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

∵
2sinx+
2cosx=2cos（x-[π/4]）=[8/5]，
∴cos（x-[π/4]）=[4/5]，
∵[π/4]＜x＜[π/2]，
∴0＜x-[π/4]＜[π/4]，
∴sin（x-[π/4]）=
1−cos2(x−
π
4)=[3/5]，tan（x-[π/4]）=[3/4]，
∴tan（x+[π/4]）=-cot（x-[π/4]）=-[4/3]，
sin2x=cos（2x-[π/2]）=2cos²（x-[π/4]）-1=[7/25]，
∴

点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．

考点点评： 此题考查了两角和与差的余弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．